点到平面的距离公式在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离一个常见的难题。这个距离可以用于许多实际应用，如计算机图形学、工程设计和物理建模等。这篇文章小编将拓展资料点到平面的距离公式的推导经过，并以表格形式展示关键内容。

一、点到平面的距离公式

设有一个平面 π，其方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中 $ A, B, C $ 是该平面的法向量 $ \vecn} = (A, B, C) $，$ D $ 是常数项。

又设有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，求该点到平面 π 的距离 $ d $，则公式为：

$$

d = \frac Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D }\sqrtA^2 + B^2 + C^2}}

$$

该公式是基于向量投影原理得出的，即点到平面的距离等于点在法向量路线上的投影长度。

二、公式说明

– 分子部分：$ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D $ 表示点 $ P $ 在平面方程中的代入值，取完全值是为了保证距离为非负数。

– 分母部分：$ \sqrtA^2 + B^2 + C^2} $ 是法向量的模长，用于归一化结局，使距离单位统一。

三、公式应用场景

四、示例计算

假设平面方程为：

$$

2x – 3y + 6z + 1 = 0

$$

点 $ P(1, 2, -1) $

代入公式得：

$$

d = \frac 2(1) – 3(2) + 6(-1) + 1 }\sqrt2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac 2 – 6 – 6 + 1 }\sqrt4 + 9 + 36}} = \frac -9 }\sqrt49}} = \frac9}7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac9}7} $。

五、拓展资料

点到平面的距离公式是三维几何中的重要工具，能够快速计算点与平面之间的最短距离。通过领会公式的结构和应用背景，可以更好地将其应用于实际难题中。掌握这一公式有助于提升空间想象能力和数学建模能力。

表格拓展资料

怎么样经过上面的分析内容，我们可以清晰地了解点到平面的距离公式及其应用价格。